高等数学

高等数学是工科专业的核心数学基础课程，涵盖极限、微积分、微分方程、级数等重要内容。本文系统整理工科高数所有知识点，通过定义解析、公式推导、典型例题和应用场景四维解读，助您快速掌握核心知识体系。

公式笔记考点总结

目录函数与极限导数与微分积分学微分方程空间解析几何多元微积分无穷级数附录1. 函数与极限1.1 函数特性有界性：∃M>0,∣f(x)∣≤M\exists M>0, |f(x)| \leq M∃M>0,∣f(x)∣≤M奇偶性： 奇函数：f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)（图像关于原点对称）偶函数：f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)（图像关于y轴对称）1.2 极限计算重要极限：

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 x→0lim​xsinx​=1

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e x→∞lim​(1+x1​)x=e

洛必达法则：当00\frac{0}{0}00​或∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​时：

lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} limg(x)f(x)​=limg′(x)f′(x)​

1.3 连续与间断连续条件：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)间断点类型：graph LR

间断点-->可去间断点

间断点-->跳跃间断点

间断点-->无穷间断点

间断点-->震荡间断点2. 导数与微分2.1 求导法则类型公式四则运算(u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'(u±v)′=u′±v′乘积法则(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'(uv)′=u′v+uv′商法则(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(vu​)′=v2u′v−uv′​链式法则dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}dxdy​=dudy​⋅dxdu​2.2 微分应用曲率公式：K=∣y′′∣(1+y′2)3/2K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} K=(1+y′2)3/2∣y′′∣​

泰勒展开：f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n f(x)=n=0∑∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n

3. 积分学3.1 积分方法分部积分法：∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du ∫udv=uv−∫vdu

换元积分： 三角代换：flowchart LR

sqrt(a^2-x^2) --> x=asinθ

sqrt(x^2+a^2) --> x=atanθ瑕积分判别： 比较审敛法：若∣f(x)∣≤Mxp|f(x)| \leq \frac{M}{x^p}∣f(x)∣≤xpM​且p>1p>1p>1，则收敛3.2 定积分应用旋转体体积（绕x轴）：V=π∫ab[f(x)]2dxV = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx V=π∫ab​[f(x)]2dx

4. 微分方程4.1 一阶方程解法类型解法可分离变量∫dyg(y)=∫f(x)dx\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx∫g(y)dy​=∫f(x)dx齐次方程令u=yxu = \frac{y}{x}u=xy​一阶线性积分因子法：y=e−∫Pdx(∫Qe∫Pdxdx+C)y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)y=e−∫Pdx(∫Qe∫Pdxdx+C)4.2 二阶常系数方程特征方程法： 方程y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0y′′+py′+qy=0，特征根：

两实根r1≠r2r_1 \neq r_2r1​=r2​：y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}y=C1​er1​x+C2​er2​x重根rrr：y=(C1+C2x)erxy = (C_1 + C_2 x)e^{rx}y=(C1​+C2​x)erx虚根α±βi\alpha \pm \beta iα±βi：y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)5. 空间解析几何5.1 空间平面与直线平面方程：

Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 Ax+By+Cz+D=0

（法向量n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C)n=(A,B,C)）

直线对称式：

x−x0l=y−y0m=z−z0n\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} lx−x0​​=my−y0​​=nz−z0​​

5.2 曲面积分高斯公式：

∯ΣF⃗⋅dS⃗=∭Ω∇⋅F⃗dV\oiint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \vec{F} dV ∬​Σ​F⋅dS=∭Ω​∇⋅FdV

6. 多元微积分6.1 偏导数与方向导数全微分公式：

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydydz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy dz=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy

梯度方向：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) ∇f=(∂x∂f​,∂y∂f​,∂z∂f​)

6.2 二重积分计算极坐标变换：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ\iint_D f(x,y) dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta ∬D​f(x,y)dxdy=∫θ1​θ2​​∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

7. 无穷级数7.1 级数审敛法方法条件比较审敛法un≤vnu_n \leq v_nun​≤vn​且∑vn\sum v_n∑vn​收敛比值审敛法$\lim \left根值审敛法$\lim \sqrt[n]{7.2 傅里叶级数周期为2π2\pi2π的函数展开：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) f(x)=2a0​​+n=1∑∞​(an​cosnx+bn​sinnx)

其中：

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdxa_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx an​=π1​∫−ππ​f(x)cosnxdx

bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdxb_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx bn​=π1​∫−ππ​f(x)sinnxdx

8. 附录常见公式速查表三角函数导数：(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x(tanx)′=sec2x, (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x2​1​

积分公式：∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x dx = \ln | \sec x + \tan x | + C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C

希腊字母对照表大写小写读音ΑαalphaΒβbetaΓγgamma📌 学习建议：

结合图形理解空间解析几何通过物理应用题掌握微积分应用制作公式卡片强化记忆高频考点